Спасибо огромное Аркадию за понимание и дельный совет.

Визу оформить можно, но если ребенок поедет самостоятельно, без сопровождающих лиц, которые должны иметь нотариальное разрешение от его родителей на его выезд из его страны...

Да, можете. Действительно, продлить визу в Филиппины можно на месте, не выезжая за пределы страны, в Иммиграционном бюро города Манила, столице Филиппин. С такой просьбой надо...